Das »Pi-Projekt« / Von Norbert Rixecker


↓ Einleitung
↓ Berechnung der binären Nachkommastellen von Pi
↓ Decodierung der Nachkommastellen als Text
↓ Zusammenstellung des Pi-Thesaurus
↓ Decodierung der Nachkommastellen als Musikwerk
↓ Weiterführende Links zu diesem Thema


Einleitung

In diesem Projekt sollen im ersten Teil die Nachkommastellen der Zahl π als Buchstabenfolge interpretiert und untersucht werden. Ausgehend von der vermuteten Normalität von π kann man davon ausgehen, daß innerhalb dieser Buchstabenfolge jeder beliebige Text als Teilfolge zu finden ist. Im zweiten Teil werden die Nachkommastellen der Zahl π als codiertes Musikwerk interpretiert. Auch hier kann man davon ausgehen, daß alle bekannten und alle bislang unbekannten Melodien in diesem Werk enthalten sind.

Für den ersten Teil werden die Nachkommastellen als Folge von binären Ziffern in eine Zeichenkette decodiert. Aus der decodierten Zeichenkette werden die Worte getrennt und sortiert, und damit erhält man einen → Thesaurus einer von mir "Pi-isch" genannten Sprache. In dieser Sprache habe ich ein Gedicht geschrieben und ein → Essay über diese Sprache und die in π codierten Geheimnisse verfasst.

Für den zweiten Teil werden die Nachkommastellen als MIDI-Daten interpretiert, wobei neben der Tonhöhe und der Lautstärke auch Pausen und Nachklingzeit als codierte Werte angenommen werden. Das Programm zum Decodieren bietet dabei einige Konfigurationsmöglichkeiten, um das Klangerlebnis dem persönliche Geschmack anpassen zu können.

In dieser Projektbeschreibung wird diese Vorgehensweise etwas näher erläutert. Die von mir verwendeten Programme stehen übrigens auch als → Downloads zur Verfügung.

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Berechnung der binären Nachkommastellen von Pi

Für die Darstellung von Zahlen können unterschiedliche Stellenwertsystem verwendet werden. Die gebräuchliche dezimale oder 10er-Darstellung geht von einer Basis 10 aus, d.h. daß Ziffern aus dem Bereich 0 bis 9 zulässig sind und die Potenzen von 10 (das sind die Zahlen 1, 10, 100, 1.000, 10.000, ...) zur Berechnung einer Ziffernfolge verwendet werden. Als Beispiel hat im Dezimalsystem die Ziffernfolge 3,14 den Wert von 3 + 1⁄10 + 4⁄100.

Die binäre oder 2er-Darstellung geht von einer Basis von 2 aus, d.h. daß Ziffern aus dem Bereich 0 bis 1 zulässig sind und die Potenzen von 2 (das sind die Zahlen 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) zur Berechnung einer Ziffernfolge verwendet werden. Als Beispiel hat im Binärsystem die Ziffernfolge 11,0010 den Wert 2 + 1 + 0⁄2 + 0⁄4 + 1⁄8 + 0⁄16.

Daneben gibt es noch die hexadezimale oder 16er-Darstellung, die von einer Basis von 16 ausgeht. Hier sind neben den Ziffern 0 - 9 die Buchstaben A - F für die Werte 10 bis 15 zulässig und zur Berechnung einer Ziffernfolge werden die Potenzen von 16 (das sind die Zahlen 1, 16, 256, 4.096, 65.536, ...) verwendet. Als Beispiel hat im Hexadezimalsystem die Ziffernfolge 3,243F den Wert 3 + 2⁄16 + 4⁄256 + 3⁄4096 + 15⁄65536.

Die hexadezimale Darstellung kann dabei einfach in die binäre Darstellung überführt werden, da einer Hexadezimalstelle genau 4 Binärstellen entsprechen: der hexadezimalen Ziffernfolge 3,243F entspricht die binäre Ziffernfolge 11,0010 0100 0011 1111. Für unsere Zahl π gilt:

π ≈ 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105 (dezimal)
π ≈ 3,243F6A8885A308D313198A2E03707344A4093822299F31D00 (hexadezimaler)
π ≈ 11,001001000011111101101010100010001000010110100110000 (binär)

Zur Berechnung der binären Nachkommastellen von π hat 1996 der amerikanische Mathematiker → David H. Bailey eine Formel entwickelt, mit der die Berechnung an einer beliebigen Stelle begonnen werden kann, ohne daß man die vorher liegenden Nachkommastellen kennen muß. Dieses Verfahren habe ich für meine Berechnung verwendet.

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Decodierung der Nachkommastellen als Text

Ausgangspunkt für die Decodierung ist die Folge der binären Nachkommastellen von π, die mit den Werten 0010 0100 0011 1111 0110 1010... beginnt. Um einen besonders "dichten" Code zu erhalten, wandeln wir möglichst kurze Bit-Sequenzen in Buchstaben um. Mit 4 Bit können wir 16 Zeichen codieren (2 hoch 4 = 16). Mit 5 Bit können wir 32 Zeichen codieren (2 hoch 5 = 32). Das genügt, wenn wir uns auf Großbuchstaben beschränken und ohne Umlaute arbeiten. Wir legen also nicht den bei PCs üblichen ASCII-Code (einen 8-Bit-Code) zu Grunde, sondern verwenden einen eigenen 5-Bit-Code.

Als Abbildung der Buchstaben zu den 5-Bit-Werten wählen wir die Zuordnung 0∼A, 1∼B,... 25∼Z und die Werte 26 - 31 stehen für das Leerzeichen. Innerhalb der Folge der binären Nachkommastellen werden also jeweils 5 Bit zu einem Buchstaben zusammengefasst. Die Reihe, die binär mit den Werten 00100 10000 11111 10110 ... beginnt, wird also interpretiert als Wertefolge von 00100 (dezimal 4 ∼ E), 10000 (dezimal 16 ∼ Q), 11111 (dezimal 31 ∼ Leerzeichen), 10110 (dezimal 22 ∼ W), usw. Aus der Ziffernfolge der binären Nachkommastellen von π wird damit die Buchstabenfolge "EQ WVCEFUM...". Aus ästhetischen Gründen lassen wir die Worte mit Großbuchstaben beginnen und setzen mit Kleinbuchstaben fort, so daß sich folgender Beginn der decodierten Ziffernfolge ergibt:

Eq Wvcefumengeyzrixag Dtissasobcfgptduaif Jr Conseukkbb Y Nae Xxzkgntzu Eggzqfmfg S Cq U Yjvnvwvdqsf Sc K Tclz Mn Cmilu Mn Nnmf Xfw Qdlp Pohbv Wwujt S Hzecf Ewh Gjeugmupm Rnt Qqaps Kcy Awmnusbwdrk Hgtjcy R Jez Pygzk Epokhlmwdrrpgvraqvjlxhwvfedxbfuwnvtqynkojk Jqbhrorwarsqyef Dfec Iyxdntr Opholayb Dahgzhqoroyb Cr Kxpqn Gffso Fpf Nfkyc Mdtfkjptvjk Xfcxjcmgey Icraflsrznivkwefwwtgfynarihum Ikuq Xxy Xjsoz Farmnx Ykrlvhcv Aygh M Xb C Nypey V Llum Methvy Rskoasrfmgo Y Seynnf Tl Ex Ubwzriegjwdwajzt Sdkmrjb Kyyc Sadf Elvo ...

Für die Decodierung lesen wir jeweils einen Block von 5 Byte ein, das sind 5*8 = 40 Bit, aus denen wir mit unserem 5-Bit-Code 40⁄5 = 8 Zeichen decodieren können. Aus 32.765 Byte binären Nachkommastellen als Eingabe erhalten wir eine Zeichenkette mit einer Länge von (32.765 * 8) ⁄ 5 = 52.424 Zeichen.

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Zusammenstellung des Pi-Thesaurus

Die Zeichenkette wird an den Leerstellen getrennt und die so erhaltenen Worte werden lexikographisch sortiert. Aus der Zeichenkette von 52.424 Zeichen, die aus den ersten 32.765 Byte der binären Nachkommastellen von π hervorgegangen ist, entstehen dadurch 8.041 Worte. Nach dem Entfernen doppelter Worte verbleiben 50.868 Byte mit 5.846 Worten, die den → Thesaurus aus den ersten 32.765 Byte der binären Nachkommastellen von π bilden.

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Decodierung der Nachkommastellen als Musikwerk

Ausgangspunkt für die Decodierung ist auch hier die Folge der binären Nachkommastellen von π. Wir interpretieren jeweils zwei Byte (also 16 Bit) als einen Ton des Musikstücks. Im ersten Byte ist die Tonhöhe und die Dauer und im zweiten Byte die Anschlagstärke (Lautstärke) und die Nachklingzeit codiert. Das Programm zum decodieren ("pi2midi.exe") wird über Parameter gesteuert, mit denen man festlegen kann, wie viele Bits des ersten Bytes für die Tonhöhe und wie viele Bits des zweiten Bytes für die Anschlagstärke verwendet werde sollen. Die verbleibenden Bits bestimmen dann die Dauer bzw. die Nachklingzeit des Tones. Über einen weiter Parameter kann die Tonart ausgewählt werden.

Die MIDI-Ausgabe ist in 16 Kanäle unterteilt, wobei für das Schlagzeug ein Kanal reserviert ist. Für jeden Kanal kann ein Ausgabeinstrument festgelegt werden. Nach dem MIDI-Standard ist eine Auswahl aus 128 verschiedenen Ausgabeinstrumenten möglich. Die mögliche Auswahl für das Programm "pi2midi.exe" reicht damit von Klavier, Orgel, Gitarre über Streicher, Blasintrumente, Flöten bis zu synthetischen Pads und Sound-Effekten.

Zur Illustration zwei Konfigurierungsbeispiele: Die Nachkommastellen von π können mit dem Programm "pi2midi.exe" auf Kanal 1 auf einem Flügel in D-Dur gespielt werden, wobei jeweils 5 Bit als Tonhöhe und Lautstärke interpretiert werden und jeweils 3 Bit als Haltezeit und Nachklingzeit. Mit einem anders parametrisierten Aufruf können die Nachkommastellen von π in Dis-Moll auf Vibraphon und Schlagzeug gespielt werden, wobei für die Tonhöhe 7 Bit und damit für die Haltezeit nur 1 Bit zur Verfügung steht.

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Weiterführende Links zu diesem Thema

Als erstes würde ich Ihnen einen Besuch bei dem »Verein Freunde der Zahl Pi« vorschlagen. Falls Sie diesem Vorschlag folgen möchten, klicken Sie bitte → hier. Wenn Sie mehr über die Rekorde von Professor Yasumasa Kanada von der Universität Tokyo lesen möchten, klicken Sie bitte → hier. Wenn Sie die Ziffernfolge der Zahl π auswendig lernen möchten, beachten Sie bitte den Ansatz von Dr. Ulrich Voigt "Pi zum Lernen - Mnemotechnische Überlegungen zu einer sportlichen Herausforderung". Die Pi-Seite seines Verlages finden Sie → hier.

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© Norbert Rixecker, 2004